베르누이 방정식 - 유체의 에너지 보존법칙

이번 포스팅에서는 소방유체역학에서 핵심이라 할 수 있는 베르누이 방정식에 대해 알아보자.

 

1. 베르누이 방정식

Bernoulli's equation

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이상유체에 대하여 유체의 속도, 압력, 위치 에너지에 대한 관계를 나타낸 방정식

위 그림과 같은 배관이 있다고 가정해보자. 유체는 오른쪽 방향으로 흐르고 있다.

그림에 표시된 첨자는 다음을 나타낸다.

$P$: 압력

$u$: 유속

$h$: 위치(높이)

베르누이 방정식은 다음과 같은 수식으로 나타낸다.

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베르누이 방정식(Bernoulli's equation)

 

$\frac{P_1}{\rho g} + \frac{1}{2}\frac{u_1^2}{g} + h_1 = \frac{P_2}{\rho g} + \frac{1}{2}\frac{u_2^2}{g} + h_2$

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$P$(압력): 마찰손실이 없다면 동일함. > 압력항을 지울 수 있다.

$\frac{1}{2}\frac{u_1^2}{g} + h_1 = \frac{1}{2}\frac{u_2^2}{g} + h_2$

 

$h$(위치): 1의 위치에너지가 2의 위치에너지보다 크다.(더 높으므로)

그러므로 위치에너지가 감소한 만큼 유속이 변한다.

 

$u$(유속): 위치에너지가 감소한 만큼 유속은 증가한다. 

 

$h_1>h_2$ 이면 $u_2>u_1$을 뜻한다.

 

베르누이 방정식은 마찰이 없는 상황에서 유체의 총 에너지는 보존된다는 것을 뜻한다.

 

 

2. 베르누이 방정식 사용 조건

베르누이 방정식을 사용하려면 두 가지 조건이 필요하다.

1) 이상유체(비압축성, 비점성)

2) 같은 유선에만 적용될 수 있다.

 

이상유체라는 것은 비압축성, 비점성인 유체를 뜻한다. 같은 유선이라는 것은 아래 그림을 보면 쉽게 이해할 수 있다.

유체는 위 그림과 같이 수많은 유선이 같이 흘러간다고 표현할 수 있다. 같은 유선에만 적용된다는 말은, 각 유선 (1번과 3번)끼리 비교할 수 없다는 뜻이다.

 

3. 마찰손실을 고려한 베르누이 방정식

이상유체는 말그대로 이상유체다. 실제로 존재하지 않는다. 그래서 베르누이 방정식을 실제 유체에 적용하려면 마찰까지 고려해줘야 한다.

 

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$\frac{P_1}{\rho g} + \frac{1}{2}\frac{u_1^2}{g} + h_1 = \frac{P_2}{\rho g} + \frac{1}{2}\frac{u_2^2}{g} + h_2 + H_L$

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$H_L$: 마찰손실

 

위 식이 마찰손슬($H_L$)까지 고려한 베르누이 방정식이다.

 

실제 배관에서는 유체와 배관 or 유체와 유체간에 마찰때문에 압력손실이 발생한다.

즉 1번 위치에서 2번 위치로 유체가 흐르면서 압력손실(마찰로 인한 에너지 손실)이 발생하는데, 에너지 보존법칙이 성립하려면 마찰로 인한 손실 값인 $H_L$을 2번항에 더해주어야 한다.

 

<참고>

 

베르누이 법칙이라고 말하기도 하는데, 정확히 말하면 베르누이 정리 혹은 베르누이 방정식이라 표현해야한다.