연속방정식 (Continuity Equation)

연속방정식 (Continuity Equation)

집에 있는 페트병에 물을 담아서 싱크대에서 뒤집어봅시다. 그러면 아래 그림처럼 물이 밑으로 나오게 됩니다.

근데 이상한 점이 하나있습니다. 병의 입구쪽에서는 물이 빠르게 나가는데, 병의 몸통쪽에 있는 물이 줄어드는 속도는 상대적으로 느리다. 왜 그럴까? 바로 단면적차이 때문입니다.

 

이를 연속방정식으로 설명할 수 있습니다.

 

 

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연속방정식[Continuity Equation]

비압축성유체에서 같은 시간동안 이동한 유체의 양은 항상 동일하다.

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조금 어려울 수 있어 그림으로 설명해보겠습니다. 

연속방정식에 의하면 같은 시간동안 이동한 유체의양은 동일하므로 1번 부분과 2번 부분의 양은 같습니다. 이를 식으로 표현해보겠습니다. 

 

1번 부분의 단위시간당 질량유량 = 2번 부분의 단위시간당 질량유량

단위시간당 질량유량은 일반적으로 $\dot{m}_i(i=1,2,3\cdot \cdot )$으로 표시합니다. 

 

그러면 $\dot{m}_1 = \dot{m}_2$ ---(1) 으로 나타낼 수 있습니다.

질량유량이므로 단위는 보통 kg/s입니다. 여기서 질량을 밀도와 부피의 곱으로 바꿔봅시다. 

정확히 말하면 밀도와 부피유량의 곱이 되겠지요. 그러면 

 

$\dot{m}_1 = \rho Q_1$이라고 쓸 수 있습니다. 

밀도의 단위: $kg/m^3$

부피유량의 단위: $m^3/s$

 

그러면 (1)식을 $\rho Q_1 = \rho Q_2$---(2)로 나타낼 수 있습니다.

 

이 부피유량은 유속과 단면적의 곱으로 나타낼 수 있습니다.

$Q_1 = u_1A_1$

 

1번 부분의 단면적: $A_1$

2번 부분의 단면적: $A_2$

 

1번 부분의 유속: $u_1$

2번 부분의 유속: $u_2$

 

https://steadygoal.tistory.com/19 - 유속, 유량 개념

 

그러면 (2)식을 $\rho u_1A_1 = \rho u_2A_2$로 나타낼 수 있습니다. 여기서 비압축성유체이므로 밀도는 어느부분에서나 동일하므로 소거할 수 있습니다.

 

정리하자면, 연속방정식에 의해 유체가 흐르는 모든 부분에서 질량유량은 같다는 걸 이용해서

 

$\dot{m}_1 = \dot{m}_2$ 로부터 $u_1A_1 = u_2A_2$라는 식을 얻어낼 수 있습니다. 

 

$u_1A_1 = u_2A_2$ 이 식을 해석해보면, 단면적이 넓을수록 유속은 줄어들고, 단면적이 좁을수록 유속은 증가한다 라는 걸 알 수 있습니다.

 

다시 페트병으로 설명해보면

단면적 차이때문에 유속의 차이가 발생하는 것입니다. 

 

 

<예시문제>

1. 냇물을 건널 때 안전을 위하여 일반적으로 물의 폭이 넓은 곳으로 건너간다. 그 이유는 폭이 넓은 곳에서는 유속이 느리기 때문이다. 이는 다음 중 어느 원리와 가장 관계가 깊은가?

 

답: 연속방정식

 

2. 단면적이 변하는 관로를 비압축성 유체가 흐르고 있다. 지름이 15cm인 단면에서의 평균속도가 4m/s 이면 지름이 20cm 인 단면에서의 평균속도는 몇 m/s 인가?

비압축성유체이므로, 연속방정식을 쓸 수 있는 조건입니다. 

 

$u_1A_1 = u_2A_2$

 

$u_1$ = 4m/s

$A_1$ = $\frac{\pi }{4}(0.15m)^2 = 0.0177m^2$

 

$A_2$ = $\frac{\pi }{4}(0.2m)^2 = 0.0314m^2$

 

4m/s × $0.0117m^2$ = $u_2$ × $0.0314m^2$

 

$u_2$ = 1.49m/s

 

3. 원관을 통하여 계량수조에 10분 동안 2000kg의 물을 이송한다. 원관의 내경을 500mm로 할 때 평균 유속은 약 몇 m/s 인가? (단, 물의 비중은 1.0 이다.)

질량유량: 2000kg/10min = 200kg/min = 200kg/60s = 3.33kg/s

 

$\dot{m} = \rho uA$ 

$\rho $ = $1000kg/m^3$

A = $\frac{\pi }{4}(0.5m)^2 = 0.196m^2$

 

$u = \frac{\dot{m}}{\rho A} = \frac{3.33kg/s}{0.196m^2\cdot 1000kg/m^3} = 0.0170m/s$